by Cho hàm đa thức bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đò thị như hình vẽ
Tổng số đường tiệm cận ngang và đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{f\left( x \right)}}\) là
A.
\(1\)
B.
\(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\):
– Đồ thị hàm số nhận \(y = {y_0}\) làm TCN nếu thỏa mãn một trong các điều kiện \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_0}\).
– Đồ thị hàm số nhận \(x = {x_0}\) làm TCĐ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = – \infty \).
Lời giải chi tiết:
Hàm số có dạng \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx – 1\) (vì là hàm bậc ba và cắt trục tung tại điểm có tung độ \( – 1\))
Đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm có tọa độ là \(\left( { – 1;0} \right),\,\,\left( {1; – 2} \right);\,\,\left( {2;0} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a + 4b + 2c = 1\\ – a + b – c = 1\\a + b + c = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 0\\c = \frac{{ – 3}}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} – \frac{3}{2}x – 1 = \frac{1}{2}{\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x – 2} \right)\end{array}\)
Khi đó \(y = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{\frac{1}{2}{{\left( {x – 1} \right)}^2}\left( {x – 2} \right)}} = \frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}}\)
Đồ thị hàm số trên có tiệm cận ngang \(y = 2\) và tiệm cận đứng là \(x = 1,\,\,x = 2\).
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{f\left( x \right)}}\) có 3 đường tiệm cận.
Chọn B.
