by Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 ,\left| {{z_2}} \right| = 2\). Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2}\). Biết góc tạo bởi hai vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {ON} \) bằng \({45^0}\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \left| {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} – {z_2}}}} \right|\).
A. \(P = \sqrt 5 \).
B. \(P = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
C. \(P = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{2 – \sqrt 2 }}\).
D. \(P = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 – 2}}\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp hình học để tính giá trị của P.
Chú ý: \(\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\), \({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(P = \left| {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} – {z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}}{{\left| {{z_1} – {z_2}} \right|}} = \frac{{OE}}{{OF}}\) (quan sát hình vẽ)
\(\begin{array}{l}O{E^2} = O{M^2} + M{E^2} – 2OM.ME.\cos {135^0} = 2 + 4 – 2\sqrt 2 .2.\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 10\\ \Rightarrow OE = \sqrt {10} \end{array}\)
\(\begin{array}{l}O{F^2} = O{M^2} + M{F^2} – 2OM.MF.\cos {45^0} = 2 + 4 – 2\sqrt 2 .2.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 2\\ \Rightarrow OF = \sqrt 2 \end{array}\)
\( \Rightarrow P = \frac{{OE}}{{OF}} = \sqrt 5 \).
Chọn: A
