Cho \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{e^{2x}}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f’\left( x \right).{e^{2x}}\).

Cho \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{e^{2x}}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f’\left( x \right).{e^{2x}}\).

A. \(\int {f’\left( x \right).{e^{2x}}} dx = – 2{x^2} + 2x + C\)

B. \(\int {f’\left( x \right).{e^{2x}}} dx = – {x^2} + x + C\).

C. \(\int {f’\left( x \right).{e^{2x}}} dx = – {x^2} + 2x + C\).

D. \(\int {f’\left( x \right).{e^{2x}}} dx = 2{x^2} – 2x + C\).

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức từng phần \(\int\limits_{}^{} {udv} = uv – \int\limits_{}^{} {vdu} \).

Lời giải chi tiết:

\(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{e^{2x}} \Rightarrow {\left( {{x^2}} \right)^\prime } = f\left( x \right).{e^{2x}} \Leftrightarrow 2x = f\left( x \right).{e^{2x}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {f’\left( x \right).{e^{2x}}} dx = \int {{e^{2x}}} d\left( {f\left( x \right)} \right) = {e^{2x}}f\left( x \right) – \int {f\left( x \right)d\left( {{e^{2x}}} \right)} \\ = {e^{2x}}f\left( x \right) – 2\int {f\left( x \right){e^{2x}}} dx = 2x – 2{x^2} + C\end{array}\)

Chọn: A