Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\), \(F\left( 1 \right) = 3,F\left( 3 \right) = 5\) và \(\int\limits_1^3 {\left( {{x^4} – 8x} \right)f\left( x \right)dx} = 12\). Tính \(I = \int\limits_1^3 {\left( {{x^3} – 2} \right)F\left( x \right)dx} \).

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\), \(F\left( 1 \right) = 3,F\left( 3 \right) = 5\) và \(\int\limits_1^3 {\left( {{x^4} – 8x} \right)f\left( x \right)dx} = 12\). Tính \(I = \int\limits_1^3 {\left( {{x^3} – 2} \right)F\left( x \right)dx} \).

A. \(I = \frac{{147}}{2}\)

B. \(I = \frac{{147}}{3}\)

C. \(I = – \frac{{147}}{2}\)

D. \(I = 147\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^4} – 8x\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^4} – 8x\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 4{x^3} – 8\\v = F\left( x \right)\end{array} \right.\).

Khi đó \(12 = \int\limits_1^3 {\left( {{x^4} – 8x} \right)f\left( x \right)dx} \)\( = \left. {\left[ {\left( {{x^4} – 8x} \right).F\left( x \right)} \right]} \right|_1^3 – \int\limits_1^3 {\left( {4{x^3} – 8} \right)F\left( x \right)dx} \)

\(\begin{array}{l} = 57.F\left( 3 \right) – \left( { – 7} \right).F\left( 1 \right) – 4\int\limits_1^3 {\left( {{x^3} – 2} \right)F\left( x \right)dx} = 57.5 + 7.3 – 4I = 306 – 4I\\ \Rightarrow 12 = 306 – 4I \Leftrightarrow I = \frac{{147}}{2}\end{array}\)

Chọn A