by Cho đường cong \(\left( C \right):y = \frac{{x – 3}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(d:\,y = x + 3m\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(d\) và \(\left( C \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) có hoành độ bằng 3.
A. \(m = – 1\).
B. \(m = – 2\).
C. \(m = 0\).
D. \(m = 1\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.
– Sử dụng hệ thức Vi-et.
– Sử dụng công thức trung điểm: \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \({x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\) .
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\frac{{x – 3}}{{x + 1}} = x + 3m\,\,\left( {x \ne – 1} \right)\\ \Leftrightarrow x – 3 = {x^2} + 3mx + x + 3m\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3mx + 3m + 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Để \(\left( C \right)\) và \(d\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} – 12m – 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < – \frac{2}{3}\end{array} \right.\)
Khi đó, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1} + {x_2} = – 3m\) (Định lí Vi-ét).
Trung điểm \(I\) của AB có hoành độ 3 nên: \(\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 3\)\( \Leftrightarrow \frac{{ – 3m}}{2} = 3 \Leftrightarrow m = – 2\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Chọn B.
