by Cho các số phức \({z_1},\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 \) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2.\) Môđun \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right|\) bằng
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(\sqrt 2 \)
D. \(2\sqrt 2 \)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Modun của số phức \(z = x + yi:\;\;\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)
Lời giải chi tiết:
Gọi số phức \({z_1} = {a_1} + {b_1}i,\,\,{z_2} = {a_2} + {b_2}i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = {a_1} + {a_2} + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i\\{z_1} – {z_2} = {a_1} – {a_2} + \left( {{b_1} – {b_2}} \right)i\end{array} \right..\)
Theo giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 3 \\\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 \\\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a_1^2 + b_1^2 = 3\\a_2^2 + b_2^2 = 3\\{\left( {{a_1} – {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} – {b_2}} \right)^2} = 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 – 2{a_1}{a_2} – 2{b_1}{b_2} = 4\\ \Leftrightarrow 6 – 2{a_1}{a_2} – 2{b_1}{b_2} = 4 \Leftrightarrow 2{a_1}{a_2} + 2{b_1}{b_2} = 2\\ \Rightarrow a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 + 2{a_1}{a_2} + 2{b_1}{b_2} = 2 + 6 = 8\\ \Leftrightarrow {\left( {{a_1} + {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} + {b_2}} \right)^2} = 8\\ \Leftrightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 .\end{array}\)
Chọn D.
