by Cho ba số dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}},\,\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}},\,\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
C. Ba số $a,\,b,\,c$ lập thành một cấp số cộng.
B. Ba số $\frac{1}{a},\,\frac{1}{b},\,\frac{1}{c}$ lập thành một cấp số cộng.
C. Ba số ${{a}^{2}},\,{{b}^{2}},\,{{c}^{2}}$ lập thành một cấp số cộng.
D. Ba số $\sqrt{a},\,\sqrt{b},\,\sqrt{c}$ lập thành một cấp số cộng
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.
Hướng dẫn
Đáp án A.
Theo giả thiết ta có:
$\begin{align}
& \frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} \\
& \Leftrightarrow \left( \sqrt{c}+\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{c}+2\sqrt{b} \right)=2\left( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\Leftrightarrow a+c=2b \\
\end{align}$
Suy ra ba số $a,b,c$ hoặc $c,b,a$ lập thành một cấp số cộng. Do đó đáp án là. A.
