Cho a,b là hai số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Hàm số \(F(x) = {a \over {b\cos x}} – 1\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over {2{{\cos }^2}x}}\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Cho a,b là hai số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Hàm số \(F(x) = {a \over {b\cos x}} – 1\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over {2{{\cos }^2}x}}\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. \( 2a-b>0 \)

B. \(2a-b<0\)

C. \(3a-b<0\)

D. \(a+b=3\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Lời giải chi tiết:

\(F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over {2{{\cos }^2}x}}dx} \)

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = – \sin xdx \Rightarrow \sin xdx = – dt\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow F\left( x \right) = – \int {{{dt} \over {2{t^2}}}} = – {1 \over 2}.\left( { – {1 \over t}} \right) + C = {1 \over {2t}} + C = {1 \over {2\cos x}} + C = {a \over {b\cos x}} – 1 \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{a = 1 \hfill \cr b = 2 \hfill \cr C = – 1 \hfill \cr} \right.\,\,\left( {tm} \right) \cr} \)

Ta có: \(2a – b = 2 – 2 = 0 \Rightarrow \) A và B sai

\(3a – b = 3 – 2 = 1 > 0 \Rightarrow C\) sai

Chọn D.