by Biết rằng tồn tại các giá trị của $x\in \left[ 0;2\pi \right]$ để ba số $1+\sin x,{{\sin }^{2}}x,1+\sin 3x$ lập thành một cấp số cộng, tính tổng $S$ các giá trị đó của $x$.
C. $S=5\pi $.
B. $S=3\pi $.
C. $S=\frac{7\pi }{2}$.
D. $S=\frac{23\pi }{6}$.
Hướng dẫn
Đáp án A.
Theo tính chất của cấp số cộng ta có:
$1+\sin x+1+\sin 3x=2{{\sin }^{2}}x$
$ \Leftrightarrow 2+4\sin x-4{{\sin }^{3}}x=2{{\sin }^{2}}x $
$ \Leftrightarrow 2{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x-2\sin x-1=0 $
$ \Leftrightarrow \left( 2\sin x+1 \right)\left( {{\sin }^{2}}x-1 \right)=0 $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& \sin x=-\frac{1}{2} \\
& \cos x=0 \\
\end{align} \right. $
+) $\sin x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\
& x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \\
\end{align} \right.$.
+) $\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi $
Với nghiệm $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi $ và $x\in \left[ 0;2\pi \right]$, ta tìm được $x=\frac{11\pi }{6}$. Với nghiệm $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi $và $x\in \left[ 0;2\pi \right]$, ta tìm được $x=\frac{7\pi }{6}$. Với nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k\pi $ và $x\in \left[ 0;2\pi \right]$ ta tìm được nghiệm $x=\frac{\pi }{2};x=\frac{3\pi }{2}$
Do đó $S+\frac{11\pi }{6}+\frac{7\pi }{6}+\frac{\pi }{2}+\frac{3\pi }{2}=5\pi $.
Dạng 3: Bài tập về tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
