Biết \(\int {x.{{\left( {2x + 1} \right)}^{100}}dx} = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{102}}}}{a} – \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{101}}}}{b} + C\), \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của hiệu \(a – b\) bằng

Biết \(\int {x.{{\left( {2x + 1} \right)}^{100}}dx} = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{102}}}}{a} – \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{101}}}}{b} + C\), \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của hiệu \(a – b\) bằng

A. 4

B. 2

C. 1

D. 0

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(2x + 1 = t\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(2x + 1 = t \Leftrightarrow 2dx = dt\) và \(x = \frac{{t – 1}}{2}\), ta có:

\(\begin{array}{l}\int {x.{{\left( {2x + 1} \right)}^{100}}dx} = \int {\frac{1}{2}\left( {t – 1} \right){t^{100}}.\frac{1}{2}dt} = \frac{1}{4}\int {\left( {t – 1} \right){t^{100}}dt} = \frac{1}{4}\int {\left( {{t^{101}} – {t^{100}}} \right)dt} \\ = \frac{1}{4}\left( {\frac{{{t^{102}}}}{{102}} – \frac{{{t^{101}}}}{{101}}} \right) + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{102}}}}{{408}} – \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{101}}}}{{404}} + C\\ \Rightarrow a = 408,\,\,b = 404 \Rightarrow a – b = 4.\end{array}\)

Chọn: A