by Biết \(f(x)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx = 4} \). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) – {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right]} dx\) bằng:
A. \(2 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
B. \(2 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
C. \(3 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D.
\(1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Tách tích phân cần tính thành hai tích phân.
– Tính các tích phân có được bằng cách sử dụng tích phân cơ bản và phương pháp đổi biến tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) – \sin x} \right]} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {2x} \right)} dx – \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x} dx = I – J\)
Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {2x} \right)dx} \).
Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\)\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( t \right).\frac{{dt}}{2}} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}.4 = 2\).
Tính \(J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x} dx = – \left. {\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = – \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} – 1} \right) = 1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(I – J = 2 – \left( {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) hay \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) – \sin x} \right]} dx = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn D
