Biết \(3\int\limits_0^7 {{e^{\sqrt {3x + 4} }}dx} = a.{e^5} + {b \over 4}{e^2} + c\) với \(a,b,c \in Z\). Tính \(T = a + b + c\)

Biết \(3\int\limits_0^7 {{e^{\sqrt {3x + 4} }}dx} = a.{e^5} + {b \over 4}{e^2} + c\) với \(a,b,c \in Z\). Tính \(T = a + b + c\)

A. 0

B. 2

C. 4

D. 1

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {3x + 4} \), sau đó sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {3x + 4} \Leftrightarrow {t^2} = 3x + 4 \Leftrightarrow 2tdt = 3dx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 2 \hfill \cr x = 7 \Rightarrow t = 5 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = 3\int\limits_0^7 {{e^{\sqrt {3x + 4} }}dx} = 2\int\limits_2^5 {{e^t}.tdt} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = t \hfill \cr dv = {e^t}dt \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ du = dt \hfill \cr v = {e^t} \hfill \cr} \right. \Rightarrow I = 2\left[ {\left. {t.{e^t}} \right|_2^5 – \int\limits_2^5 {{e^t}dt} } \right] = 2\left[ {\left. {t.{e^t}} \right|_2^5 – \left. {{e^t}} \right|_2^5} \right] = 2\left[ {5{e^5} – 2{e^2} – {e^5} + {e^2}} \right] = 2\left( {4{e^5} – {e^2}} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 8 \hfill \cr b = – 8 \hfill \cr c = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow a + b + c = 0\)

Chọn A.