by Với cách đổi biến \(u=\sqrt{1+3\ln x}\) thì tích phân \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{1+3\ln x}}}dx\) trở thành:
A. \(\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}\)
B. \(\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}\)
C. \(2\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}\)
D. \(\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{u}^{2}}-1}{u}du}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
+) Đổi cận từ x sang u.
+) Áp dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp để tính \(du\) và thế vào biểu thức \(f\left( x \right)\) lấy tích phân.
Lời giải chi tiết:
Đổi cận: \(\left\{ \begin{align} & x=1\Rightarrow u=1 \\ & x=e\Rightarrow u=2 \\ \end{align} \right..\)
Ta có: \(u=\sqrt{1+3\ln x}\Rightarrow {{u}^{2}}=1+3\ln x\Rightarrow \ln x=\frac{{{u}^{2}}-1}{3}.\)
\(\begin{align} & u=\sqrt{1+3\ln x}\Rightarrow du=\left( \sqrt{1+3\ln x} \right)’dx=\frac{\left( 1+3\ln x \right)’}{2\sqrt{1+3\ln x}}dx=\frac{3}{2x\sqrt{1+3\ln x}}dx. \\ & \Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{1+3\ln x}}dx=\frac{2}{3}du \\ \end{align}\) \(\Rightarrow \int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{1+3\ln x}}}dx=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{u}^{2}}-1}{3}.\frac{2}{3}du=\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du.}}\)
Chọn B.
