Tính nguyên hàm dạng đặc biệt loại 2

Tìm nguyên hàm dạng $\left[ \begin{array}{l}
I = \int {{e^{{\rm{ax}}}}\sin bxdx} \\
I = \int {{e^{{\rm{ax}}}}c{\rm{osbxdx}}}
\end{array} \right.$
 với $a, b ≠ 0$
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, theo các bước sau:

  •  Bước 1: Đặt $\left[ \begin{array}{l}
    \left\{ \begin{array}{l}
    u = c{\rm{osbx}}\\
    {\rm{dv = }}{{\rm{e}}^{{\rm{ax}}}}dx
    \end{array} \right.\\
    \left\{ \begin{array}{l}
    u = \sin bx\\
    dv = {e^{{\rm{ax}}}}dx
    \end{array} \right.
    \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
    \left\{ \begin{array}{l}
    du = – b\sin {\rm{bxdx}}\\
    {\rm{v = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{a}}}{{\rm{e}}^{{\rm{ax}}}}
    \end{array} \right.\\
    \left\{ \begin{array}{l}
    du = b\cos {\rm{b}}xdx\\
    v = \frac{1}{a}{e^{{\rm{ax}}}}
    \end{array} \right.
    \end{array} \right.$
  • Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần.

Chú ý: Riêng đối với dạng nguyên hàm này bao giờ cũng phải lấy nguyên hàm từng phần hai lần.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $I = \int {{e^{2x}}{{\sin }^2}xdx} .$

Giải

Ta có: $I = \int {{e^{2x}}{{\sin }^2}xdx} $ $ = \int {{e^{2x}}\left( {\frac{{1 – c{\rm{os2x}}}}{2}} \right)dx} $ ${ = \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}dx – \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}c{\rm{os2xdx}}} } }$ ${ = \frac{1}{4}{e^{2x}} – \frac{1}{2}J}$ $(1).$

Tìm nguyên hàm: $J = \int {{e^{2x}}c{\rm{os2xdx}}} .$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = c{\rm{os2x}}\\
{\rm{dv = }}{{\rm{e}}^{{\rm{2x}}}}dx
\end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l}
du = – 2\sin 2xdx\\
v = \frac{1}{2}{e^{2x}}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow J = \frac{1}{2}{e^{2x}}c{\rm{os2x + }}\int {{e^{2x}}\sin 2xdx} $ $ = \frac{1}{2}{e^{2x}}c{\rm{os2x + K}}$ $(2).$

Tìm nguyên hàm: $K = \int {{e^{2x}}\sin 2xdx} .$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = \sin 2x\\
d{v_1} = {e^{2x}}dx
\end{array} \right.$ $ \to \left\{ \begin{array}{l}
d{u_1} = 2\cos 2xdx\\
{v_1} = \frac{1}{2}{e^{2x}}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow K = \frac{1}{2}{e^{2x}}\sin 2x – \int {{e^{2x}}c{\rm{os2xdx}}} $ $ = \frac{1}{2}{e^{2x}}\sin 2x – J$ $(3).$

Từ $(2)$ và $(3)$ ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
J – K = \frac{1}{2}{e^{2x}}c{\rm{os2x}}\\
J + K = \frac{1}{2}{e^{2x}}\sin {\rm{2x}}
\end{array} \right.$ $ \leftrightarrow J = \frac{1}{4}{e^{2x}}\left( {\sin 2x + c{\rm{os2x}}} \right).$

Thay vào $(1)$ ta được: $I = \frac{1}{4}{e^{2x}} – \frac{1}{2}.\frac{1}{4}{e^{2x}}\left( {\sin 2x + c{\rm{os2x}}} \right)$ $ = \frac{1}{4}{e^{2x}}\left( {1 – \frac{1}{2}\left( {\sin 2x + c{\rm{os2x}}} \right)} \right) + C.$