Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {4 – {x^2}} \) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right].\)

Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {4 – {x^2}} \) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right].\)

A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = \sqrt 3 .\)

B. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = 0.\)

C. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = 2.\)

D. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = \sqrt 2 .\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y’ = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\) Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\)

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right)\) thì \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {a;\,\,b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right).\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = \sqrt {4 – {x^2}} \) trên \(\left[ { – 1;\,\,1} \right].\)

Ta có: \(y’ = \frac{{ – 2x}}{{2\sqrt {4 – {x^2}} }} = \frac{{ – x}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left[ { – 1;\,\,1} \right]\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( { – 1} \right) = \sqrt 3 \\y\left( 0 \right) = 4\\y\left( 1 \right) = \sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ { – 1;\,\,1} \right]} y = \sqrt 3 \,\,\,\,khi\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 1\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn A.