Tháng Năm 20, 2022

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đường thẳng $d:x + 3y + m = 0$ cắt đồ thị hàm số

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đường thẳng $d:x + 3y + m = 0$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 3}}{{x – 1}}$ tại hai điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông tại điểm A(1; 0).
A. m=6
B. m=4
C. m=-6
D. m=-4
Hướng dẫn
Ta có:$d:y = – \frac{1}{3}x – \frac{m}{3}$
Hoành độ giao điểm của d và (H) là nghiệm của phương trình
$\frac{{2x – 3}}{{x – 1}} = – \frac{1}{3}x – \frac{m}{3} \Rightarrow {x^2} + \left( {m + 5} \right)x – m – 9 = 0\,\,\left( 1 \right)$
Với x=1, ta có: -3=0 (vô lý)
Vậy x=1 không làm nghiệm của (1).
Ta có:
$\Delta = {\left( {m + 7} \right)^2} + 12 > 0,\,\forall m.\,$
Vậy d và (H) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Gọi $M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là tọa độ giao điểm.
Ta có: $\overrightarrow {AM} = \left( {{x_1} – 1;{y_1}} \right),\overrightarrow {AN} = \left( {{x_2} – 1;{y_2}} \right)$.
Tam giác AMN vuông tại A.
$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} = 0$
$\Leftrightarrow \left( {{x_1} – 1} \right)\left( {{x_2} – 1} \right) + {y_1}{y_2} = 0$
$\Leftrightarrow 10{x_1}{x_2} + \left( {m – 9} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} + 9 = 0.\,\left( 2 \right)$
Áp dụng định lý Viet, ta có ${x_1} + {x_2} = – m – 5,\,{x_1}{x_2} = – m – 9$
$10\left( { – m – 9} \right) + \left( {m – 9} \right)\left( { – m – 5} \right) + {m^2} + 9 = 0$
$\Leftrightarrow – 6m – 36 = 0 \Leftrightarrow m = – 6$