Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\frac{x+{{m}^{2}}}{x+1}\) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\frac{x+{{m}^{2}}}{x+1}\) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.

A. \(m\in \left[ -\,1;1 \right].\)

B. \(m\in \mathbb{R}.\)

C. \(m\in (-1;1).\)

D. \(m\in \left( -\,\infty ;-\,1 \right)\cup \left( 1;+\,\infty \right).\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y=\frac{x+{{m}^{2}}}{x+1}\Rightarrow {y}’=\frac{1-{{m}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}};\,\,\forall x\ne -\,1.\)

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định \(\Leftrightarrow \,\,{y}’>0;\,\,\forall x\ne -\,1\Leftrightarrow \,\,1-{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow \,\,m\in \left( -\,1;1 \right).\)

Chọn C.