by Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) biết phương trình \(F\left( x \right) = 0\) có một nghiệm bằng \(\frac{\pi }{4}.\)
A. \(F\left( x \right) = \tan x – 1\)
B. \(F\left( x \right) = \tan x – x + \frac{\pi }{4} – 1\)
C. \(F\left( x \right) = \tan x + x + \frac{\pi }{4} – 1\)
D. \(F\left( x \right) = 2\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} – 4\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Sử dụng biến đổi lượng giác: \({\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1\).
– Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = \tan x + C\).
– Sử dụng giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\) tìm C.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) nên
\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\tan }^2}x} dx\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right)dx} \\ \Rightarrow F\left( x \right) = \tan x – x + C\end{array}\)
Mà \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow 1 – \frac{\pi }{4} + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{\pi }{4} – 1.\)
Vậy \(F\left( x \right) = \tan x – x + \frac{\pi }{4} – 1.\)
Chọn B.
