Tháng Tư 18, 2024

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(a)\;A = 4 – {x^2} + 2x\) \(b)\;B = 4x – {x^2}\) \(c)\;C = {x^2} – 3x + {y^2} + y + 4\)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(a)\;A = 4 – {x^2} + 2x\)

\(b)\;B = 4x – {x^2}\)

\(c)\;C = {x^2} – 3x + {y^2} + y + 4\)

A. \( a) \max A=5 \)

\( b) \max B=4 \)

\( c) \min C=\frac{3}{2}\)

B. \( a) \max A=1 \)

\( b) \max B=2 \)

\( c) \min C=\frac{3}{2}\)

C. \( a) \min A=5 \)

\( b) \max B=4 \)

\( c) \max C=\frac{3}{2}\)

D. \( a) \max A=5 \)

\( b) \max B=0 \)

\( c) \min C=-\frac{1}{2}\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: A

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(a)\ A=4-{{x}^{2}}+2x=-\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)+5=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+5\)

Vì \({{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0\) với mọi \(x\) nên \(A=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+5\le 5\) với mọi \(x\).

\(A=5\) khi \(x=1\).

Kết luận: \(A\) đạt giá trị lớn nhất là \(5\) khi \(x=1\).

\(b)\ B=4x-{{x}^{2}}=-\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)+4=-\left( {{x}^{2}}-2.2.x+{{2}^{2}} \right)+4=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\)

Vì \({{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\) với mọi \(x\) nên \(B=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\le 4\) với mọi \(x\).

\(B=4\) khi \(x=2\).

Kết luận: \(B\) đạt giá trị lớn nhất là \(4\) khi \(x=2\).

\(c)\ C={{x}^{2}}-3x+{{y}^{2}}+y+4=\left[ {{x}^{2}}-2.x.\frac{3}{2}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}} \right]+\left[ {{y}^{2}}+2.x.\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}} \right]+\frac{3}{2}={{\left( x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{2}\)

Vì \({{\left( x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\) và \({{\left( y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0,\forall y\) nên \(C={{\left( x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{2}\ge \frac{3}{2},\forall x,y\).

\(C=\frac{3}{2}\) khi \(x=\frac{3}{2};y=-\frac{1}{2}\).

Kết luận: \(C\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{3}{2}\) khi \(x=\frac{3}{2};y=-\frac{1}{2}\).