Tháng Tư 15, 2024

Tam giác \(ABC\)có \(\angle C – \angle B = 90^\circ ,\) \(AH\) là đường cao của tam giác. Chứng minh rằng \(A{H^2} = BH.CH\)

Tam giác \(ABC\)có \(\angle C – \angle B = 90^\circ ,\) \(AH\) là đường cao của tam giác. Chứng minh rằng \(A{H^2} = BH.CH\)

Phương pháp giải:

– Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác.

– Sử dụng tam giác đồng dạng và suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\angle ACB – \angle B = 90^\circ \)\( \Rightarrow \angle ACB > {90^0}\)\( \Rightarrow \angle ACB\) là góc tù.

\( \Rightarrow \angle B = \angle ACB – {90^0}\).

Mặt khác: \(\angle ACB = \angle HAC + \angle AHC = \angle HAC + {90^0}\) (góc ngoài của tam giác).

\( \Rightarrow \angle HAC = \angle ACB – {90^0}.\)

Do đó: \(\angle HAC = \angle B\).

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BHA\) có:

\(\angle H\) chung;

\(\angle HAC = \angle B\,\,\left( {cmt} \right)\);

\( \Rightarrow \Delta AHC\)đồng dạng với\(\Delta BHA\) (g.g).

\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}} \Leftrightarrow A{H^2} = BH.CH.\)