by Tam giác \(ABC\)có \(\angle C – \angle B = 90^\circ ,\) \(AH\) là đường cao của tam giác. Chứng minh rằng \(A{H^2} = BH.CH\)
Phương pháp giải:
– Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác.
– Sử dụng tam giác đồng dạng và suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\angle ACB – \angle B = 90^\circ \)\( \Rightarrow \angle ACB > {90^0}\)\( \Rightarrow \angle ACB\) là góc tù.
\( \Rightarrow \angle B = \angle ACB – {90^0}\).
Mặt khác: \(\angle ACB = \angle HAC + \angle AHC = \angle HAC + {90^0}\) (góc ngoài của tam giác).
\( \Rightarrow \angle HAC = \angle ACB – {90^0}.\)
Do đó: \(\angle HAC = \angle B\).
Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BHA\) có:
\(\angle H\) chung;
\(\angle HAC = \angle B\,\,\left( {cmt} \right)\);
\( \Rightarrow \Delta AHC\)đồng dạng với\(\Delta BHA\) (g.g).
\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}} \Leftrightarrow A{H^2} = BH.CH.\)
