Tháng Năm 29, 2022
giải toán bằng máy tính casio

Sử dụng máy tính casio giải phương trình số phức

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z có dạng $z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$ thì ta luôn có : ${z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)$
Lệnh chuyển số phức z=a+bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3

    • Bước 1: Nhập số phức z=a+bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3 (Ví dụ $z = 1 + \sqrt 3 i$ )

  • Bước 2: Từ bảng kết quả ta đọc hiểu r=2 và $\varphi = \frac{\pi }{3}$

II) VÍ DỤ MINH HỌA
VD1. (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 )
Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} – z + 1 = 0$ . Giá trị của $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ bằng :
A.0
B.1
C. 2
D.4

Lời giải

Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} – z + 1 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3

 Vậy ta được hai nghiệm ${z_1} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ và ${z_2} = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ . Tính tổng Môđun của hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP

$ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2$ ta thấy B là đáp án chính xác

VD2. (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 )
Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 2z + 2 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức $P = z_1^{2016} + z_2^{2016}$:
A. ${2^{1009}}$
B.0
C. ${2^{2017}}$
D. ${2^{1008}}$

Lời giải:

Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} + 2z + 2 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3

Ta thu được hai nghiệm ${z_1} = – 1 + i$ và ${z_2} = – 1 – i$ . Với các cụm đặc biệt -1+i , -1-i ta có điều đặc biệt sau: ${\left( { – 1 + i} \right)^4} = – 4$ , ${\left( { – 1 – i} \right)^4} = – 4$

Vậy $P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {\left( { – 1 + i} \right)^{2016}} + {\left( { – 1 – i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( { – 1 + i} \right)}^4}} \right]^{504}} + {\left[ {{{\left( { – 1 – i} \right)}^4}} \right]^{504}}$
$ = {\left( { – 4} \right)^{504}} + {\left( { – 4} \right)^{504}} = {4^{504}} + {4^{504}} = {2^{1008}} + {2^{1008}} = {2.2^{1008}} = {2^{1009}}$
$P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {2^{1009}}$ ta thấy A là đáp án chính xác

VD3. (Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1 )
Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ và ${z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${z^4} – {z^2} – 12 = 0$ . Tính tổng :
$T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
A.T=4
B. $T = 2\sqrt 3 $
C. $T = 4 + 2\sqrt 3 $
D. $T = 2 + 2\sqrt 3 $

Lời giải

Để tính nghiệm của phương trình ta dùng chức năng MODE 5. Tuy nhiên máy tính chỉ tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính được phương trình bậc 4 trùng phương ${z^4} – {z^2} – 12 = 0$ thì ta coi ${z^2} = t$ khi đó phương trình trở thành ${t^2} – t – 12 = 0$

Vậy $\left[ \begin{array}{l} t = 4\\ t = – 3 \end{array} \right.$ hay $\left[ \begin{array}{l} {z^2} = 4\\ {z^2} = – 3 \end{array} \right.$
Với ${{\rm{z}}^2} = 4 \Rightarrow z = \pm 2$
Với ${z^2} = – 3$ ta có thể đưa về ${z^2} = 3{i^2} \Leftrightarrow z = \pm \sqrt 3 i$ với ${i^2} = – 1$ . Hoặc ta có thể tiếp tục sử dụng chức năng MODE 5 cho phương trình ${z^2} = – 3 \Leftrightarrow {z^2} + 3 = 0$

Tóm lại ta sẽ có 4 nghiệm $z = \pm 1\,,\,z = \pm \sqrt 3 i$
Tính T ta lại sử dụng chức năng tính môđun SHIFT HYP

VD4: (Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 )
Giải phương trình sau trên tập số phức : ${z^3} + \left( {i + 1} \right){z^2} + \left( {i + 1} \right)z + i = 0$
A.z=-I
B. $z = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
C. $z = – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
D.Cả A, B, C đều đúng

Lời giải:

Để kiểm tra nghiệm của 1 phương trình ta sử dụng chức năng CALC

Vậy z=-i là nghiệm
Tiếp tục kiểm tra $z = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều đúng có nghĩa là đáp án D chính xác. Nếu giá trị này không là nghiệm thì chỉ có đáp án A đúng duy nhất.

Vậy $z = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ tiếp tục là nghiệm có nghĩa là đáp án A và B đều đúng
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

VD5: (Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 )
Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có hai nghiệm ${z_1} = 1 + \sqrt 3 \,;{z_2} = 1 – \sqrt 3 $
A. ${z^2} + i\sqrt 3 z + 1 = 0$
B. ${z^2} + 2{\rm{z}} + 4 = 0$
C. ${z^2} – 2{\rm{z}} + 4 = 0$
D. ${z^2} – 2{\rm{z}} – 4 = 0$

Lời giải:

Ta hiểu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ nếu có hai nghiệm thì sẽ tuân theo định lý Vi-et (kể cả trên tập số thực hay tập số phức ): $\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a}\\ {z_1}{z_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$
Tính ${z_1} + {z_2} = 2$

Rõ ràng chỉ có phương trình ${z^2} – 2{\rm{z}} + 4 = 0$ có $ – \frac{b}{a} = 2$ và $\frac{c}{a} = 4$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C

VD 6: (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 )
Phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức :
A.2
B.1
C. 0
D.Vô số

Lời giải:

Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ sẽ có hai nghiệm phân biệt nếu $\Delta > 0$ , có hai nghiệm kép nếu $\Delta = 0$ , vô nghiệm nếu $\Delta < 0$ . Tuy nhiên trên tập số phức phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có 1 nghiệm duy nhất nếu $\Delta = 0$, có hai nghiệm phân biệt nếu $\left[ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ \Delta < 0 \end{array} \right.$
Vậy ta chỉ cần tính $\Delta $ là xong. Với phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ thì $\Delta = {i^2} – 4 = – 5$ là một đại lượng $ < 0$ vậy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt Đáp số chính xác là A VD7. Phần thực của số phức z là bao nhiêu biết $z = \frac{{{{\left( {1 – i} \right)}^{10}}{{\left( {\sqrt 3 + i} \right)}^5}}}{{{{\left( { – 1 – i\sqrt 3 } \right)}^{10}}}}$ A.-1+i B.1 C.3-2i D. ${2^5}i$ Lời giải: Để xử lý số phức bậc cao (>3) ta sử đưa số phức về dạng lượng giác và sử dụng công thức Moa-vơ . Và để dễ nhìn ta đặt $z = \frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}}$
Tính ${z_1} = 1 – i = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$. Để tính r và $\varphi $ ta lại sử dụng chức năng SHIF 2 3

Vậy ${z_1} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{ – \pi }}{4} + i\sin \frac{{ – \pi }}{4}} \right)$ $z_1^{10} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{10}}\left( {\cos 10.\frac{{ – \pi }}{4} + i\sin 10.\frac{{ – \pi }}{4}} \right)$
Tính $\cos 10.\frac{{ – \pi }}{4} + i\sin 10.\frac{{ – \pi }}{4}$

Vậy $z_1^{10} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{10}}.i = {2^5}.i$
Tương tự $z_2^5 = {2^5}\left( {\cos 5.\frac{\pi }{6} + i\sin 5.\frac{\pi }{6}} \right) = {2^5}\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$
$z_3^{10} = {2^{10}}\left( {\cos 10.\frac{{ – 2\pi }}{3} + i\sin 10.\frac{{ – 2\pi }}{3}} \right) = {2^{10}}\left( { – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)$
Tổng hợp $z = \frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}} = \frac{{{2^5}i{{.2}^5}\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)}}{{{2^{10}}\left( { – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}}$

Vậy z=1 $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho phương trình v có hai nghiệm phức ${z_1}$ và ${z_2}$ . Giá trị của $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ là :
A. $2\sqrt {17} $
B. $2\sqrt {13} $
C. $2\sqrt {10} $
D. $2\sqrt {15} $
(Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 )

Bài 2. Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2{\rm{z}} + 10 = 0$ . Tính giá trị biểu thức $A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}$
A. $2\sqrt {10} $
B.20
C. $5\sqrt 2 $
D. $10\sqrt 3 $
(Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009)

Bài 3. Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ là nghiệm của phương trình ${z^3} + 27 = 0$ . Tính tổng $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|$
A.T=0
B. $T = 3\sqrt 3 $
C.T=9
D.T=3
(Thi thử Group Nhóm toán lần 5 )

Bài 4. Gọi ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $2{{\rm{z}}^4} – 3{{\rm{z}}^2} – 2 = 0$ . Tính tổng sau
$T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
A.5
B. $5\sqrt 2 $
C. $3\sqrt 2 $
D. $\sqrt 2 $
(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 )

Bài 5. Xét phương trình ${z^3} = 1$ trên tập số phức . Tập nghiệm của phương trình là :
A. $S = \left\{ 1 \right\}$
B. $S = \left\{ {1;\frac{{ – 1 \pm \sqrt 3 }}{2}} \right\}$
C. $S = \left\{ {1; – \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right\}$
D. $S = \left\{ { – \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right\}$
(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 )

Bài 6. Biết z là nghiệm của phương trình $z + \frac{1}{z} = 1$ . Tính giá trị biểu thức $P = {z^{2009}} + \frac{1}{{{z^{2009}}}}$
A.P=1
B.P=0
C. $P = – \frac{5}{2}$
D. $P = \frac{7}{4}$