by I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z có dạng $z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$ thì ta luôn có : ${z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)$
Lệnh chuyển số phức z=a+bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3
-
- Bước 1: Nhập số phức z=a+bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3 (Ví dụ $z = 1 + \sqrt 3 i$ )
- Bước 2: Từ bảng kết quả ta đọc hiểu r=2 và $\varphi = \frac{\pi }{3}$
II) VÍ DỤ MINH HỌA
VD1. (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 )
Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} – z + 1 = 0$ . Giá trị của $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ bằng :
A.0
B.1
C. 2
D.4
Lời giải
Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} – z + 1 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3
Vậy ta được hai nghiệm ${z_1} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ và ${z_2} = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ . Tính tổng Môđun của hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP
$ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2$ ta thấy B là đáp án chính xác
VD2. (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 )
Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 2z + 2 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức $P = z_1^{2016} + z_2^{2016}$:
A. ${2^{1009}}$
B.0
C. ${2^{2017}}$
D. ${2^{1008}}$
Lời giải:
Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} + 2z + 2 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3
Ta thu được hai nghiệm ${z_1} = – 1 + i$ và ${z_2} = – 1 – i$ . Với các cụm đặc biệt -1+i , -1-i ta có điều đặc biệt sau: ${\left( { – 1 + i} \right)^4} = – 4$ , ${\left( { – 1 – i} \right)^4} = – 4$
Vậy $P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {\left( { – 1 + i} \right)^{2016}} + {\left( { – 1 – i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( { – 1 + i} \right)}^4}} \right]^{504}} + {\left[ {{{\left( { – 1 – i} \right)}^4}} \right]^{504}}$
$ = {\left( { – 4} \right)^{504}} + {\left( { – 4} \right)^{504}} = {4^{504}} + {4^{504}} = {2^{1008}} + {2^{1008}} = {2.2^{1008}} = {2^{1009}}$
$P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {2^{1009}}$ ta thấy A là đáp án chính xác
VD3. (Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1 )
Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ và ${z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${z^4} – {z^2} – 12 = 0$ . Tính tổng :
$T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
A.T=4
B. $T = 2\sqrt 3 $
C. $T = 4 + 2\sqrt 3 $
D. $T = 2 + 2\sqrt 3 $
Lời giải
Để tính nghiệm của phương trình ta dùng chức năng MODE 5. Tuy nhiên máy tính chỉ tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính được phương trình bậc 4 trùng phương ${z^4} – {z^2} – 12 = 0$ thì ta coi ${z^2} = t$ khi đó phương trình trở thành ${t^2} – t – 12 = 0$
Vậy $\left[ \begin{array}{l} t = 4\\ t = – 3 \end{array} \right.$ hay $\left[ \begin{array}{l} {z^2} = 4\\ {z^2} = – 3 \end{array} \right.$
Với ${{\rm{z}}^2} = 4 \Rightarrow z = \pm 2$
Với ${z^2} = – 3$ ta có thể đưa về ${z^2} = 3{i^2} \Leftrightarrow z = \pm \sqrt 3 i$ với ${i^2} = – 1$ . Hoặc ta có thể tiếp tục sử dụng chức năng MODE 5 cho phương trình ${z^2} = – 3 \Leftrightarrow {z^2} + 3 = 0$
Tóm lại ta sẽ có 4 nghiệm $z = \pm 1\,,\,z = \pm \sqrt 3 i$
Tính T ta lại sử dụng chức năng tính môđun SHIFT HYP
VD4: (Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 )
Giải phương trình sau trên tập số phức : ${z^3} + \left( {i + 1} \right){z^2} + \left( {i + 1} \right)z + i = 0$
A.z=-I
B. $z = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
C. $z = – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$
D.Cả A, B, C đều đúng
Lời giải:
Để kiểm tra nghiệm của 1 phương trình ta sử dụng chức năng CALC
Vậy z=-i là nghiệm
Tiếp tục kiểm tra $z = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều đúng có nghĩa là đáp án D chính xác. Nếu giá trị này không là nghiệm thì chỉ có đáp án A đúng duy nhất.
Vậy $z = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ tiếp tục là nghiệm có nghĩa là đáp án A và B đều đúng
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D
VD5: (Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 )
Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có hai nghiệm ${z_1} = 1 + \sqrt 3 \,;{z_2} = 1 – \sqrt 3 $
A. ${z^2} + i\sqrt 3 z + 1 = 0$
B. ${z^2} + 2{\rm{z}} + 4 = 0$
C. ${z^2} – 2{\rm{z}} + 4 = 0$
D. ${z^2} – 2{\rm{z}} – 4 = 0$
Lời giải:
Ta hiểu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ nếu có hai nghiệm thì sẽ tuân theo định lý Vi-et (kể cả trên tập số thực hay tập số phức ): $\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a}\\ {z_1}{z_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$
Tính ${z_1} + {z_2} = 2$
Rõ ràng chỉ có phương trình ${z^2} – 2{\rm{z}} + 4 = 0$ có $ – \frac{b}{a} = 2$ và $\frac{c}{a} = 4$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
VD 6: (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 )
Phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức :
A.2
B.1
C. 0
D.Vô số
Lời giải:
Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ sẽ có hai nghiệm phân biệt nếu $\Delta > 0$ , có hai nghiệm kép nếu $\Delta = 0$ , vô nghiệm nếu $\Delta < 0$ . Tuy nhiên trên tập số phức phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có 1 nghiệm duy nhất nếu $\Delta = 0$, có hai nghiệm phân biệt nếu $\left[ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ \Delta < 0 \end{array} \right.$
Vậy ta chỉ cần tính $\Delta $ là xong. Với phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ thì $\Delta = {i^2} – 4 = – 5$ là một đại lượng $ < 0$ vậy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt Đáp số chính xác là A VD7. Phần thực của số phức z là bao nhiêu biết $z = \frac{{{{\left( {1 – i} \right)}^{10}}{{\left( {\sqrt 3 + i} \right)}^5}}}{{{{\left( { – 1 – i\sqrt 3 } \right)}^{10}}}}$ A.-1+i B.1 C.3-2i D. ${2^5}i$ Lời giải: Để xử lý số phức bậc cao (>3) ta sử đưa số phức về dạng lượng giác và sử dụng công thức Moa-vơ . Và để dễ nhìn ta đặt $z = \frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}}$
Tính ${z_1} = 1 – i = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$. Để tính r và $\varphi $ ta lại sử dụng chức năng SHIF 2 3
Vậy ${z_1} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{ – \pi }}{4} + i\sin \frac{{ – \pi }}{4}} \right)$ $z_1^{10} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{10}}\left( {\cos 10.\frac{{ – \pi }}{4} + i\sin 10.\frac{{ – \pi }}{4}} \right)$
Tính $\cos 10.\frac{{ – \pi }}{4} + i\sin 10.\frac{{ – \pi }}{4}$
Vậy $z_1^{10} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{10}}.i = {2^5}.i$
Tương tự $z_2^5 = {2^5}\left( {\cos 5.\frac{\pi }{6} + i\sin 5.\frac{\pi }{6}} \right) = {2^5}\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)$
$z_3^{10} = {2^{10}}\left( {\cos 10.\frac{{ – 2\pi }}{3} + i\sin 10.\frac{{ – 2\pi }}{3}} \right) = {2^{10}}\left( { – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)$
Tổng hợp $z = \frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}} = \frac{{{2^5}i{{.2}^5}\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)}}{{{2^{10}}\left( { – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}}$
Vậy z=1 $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho phương trình v có hai nghiệm phức ${z_1}$ và ${z_2}$ . Giá trị của $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ là :
A. $2\sqrt {17} $
B. $2\sqrt {13} $
C. $2\sqrt {10} $
D. $2\sqrt {15} $
(Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 )
Bài 2. Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2{\rm{z}} + 10 = 0$ . Tính giá trị biểu thức $A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}$
A. $2\sqrt {10} $
B.20
C. $5\sqrt 2 $
D. $10\sqrt 3 $
(Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009)
Bài 3. Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ là nghiệm của phương trình ${z^3} + 27 = 0$ . Tính tổng $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right|$
A.T=0
B. $T = 3\sqrt 3 $
C.T=9
D.T=3
(Thi thử Group Nhóm toán lần 5 )
Bài 4. Gọi ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $2{{\rm{z}}^4} – 3{{\rm{z}}^2} – 2 = 0$ . Tính tổng sau
$T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$
A.5
B. $5\sqrt 2 $
C. $3\sqrt 2 $
D. $\sqrt 2 $
(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 )
Bài 5. Xét phương trình ${z^3} = 1$ trên tập số phức . Tập nghiệm của phương trình là :
A. $S = \left\{ 1 \right\}$
B. $S = \left\{ {1;\frac{{ – 1 \pm \sqrt 3 }}{2}} \right\}$
C. $S = \left\{ {1; – \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right\}$
D. $S = \left\{ { – \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right\}$
(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 )
Bài 6. Biết z là nghiệm của phương trình $z + \frac{1}{z} = 1$ . Tính giá trị biểu thức $P = {z^{2009}} + \frac{1}{{{z^{2009}}}}$
A.P=1
B.P=0
C. $P = – \frac{5}{2}$
D. $P = \frac{7}{4}$
