Hàm số $y=2\cos x+\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)$ đạt giá trị lớn nhất là

Hàm số $y=2\cos x+\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)$ đạt giá trị lớn nhất là

C. $5-2\sqrt{2}$

B. $5+2\sqrt{2}$

C. $\sqrt{5+2\sqrt{2}}$

D. $\sqrt{5-2\sqrt{2}}$

Hướng dẫn

Đáp án C.

$\begin{align}

& y=2\cos x+\sin (x+\frac{\pi }{4})\Leftrightarrow 2\cos x+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4}) \\

& \Leftrightarrow 2\cos x+\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x+\cos x)\Leftrightarrow y=\left( 2+\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\cos x+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x \\

\end{align}$

${{y}^{2}}\le {{\left( 2+\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}\le 5+2\sqrt{2}$

$-\sqrt{5+2\sqrt{2}}\le y\le \sqrt{5+2\sqrt{2}}$ => Giá trị lớn nhát của hàm số là$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$ .