by Giả sử một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2}} \over {\sqrt {1 – {x^3}} }} + {1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\) có dạng \(A\sqrt {1 – {x^3}} + {B \over {1 + \sqrt x }}\). Hãy tính A + B.
A. \(A + B = – 2\)
B. \(A + B = {8 \over 3}\)
C. \(A + B = 2\)
D. \(A + B = – {8 \over 3}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
\(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {{{{x^2}} \over {\sqrt {1 – {x^3}} }}dx} + \int\limits_{}^{} {{1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}dx} = {I_1} + {I_2}\)
Với I$_{1}$ đặt \(t = \sqrt {1 – {x^3}} \), I$_{2}$ đặt \(t = 1 + \sqrt x \)
Lời giải chi tiết:
\(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {{{{x^2}} \over {\sqrt {1 – {x^3}} }}dx} + \int\limits_{}^{} {{1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}dx} = {I_1} + {I_2}\)
Xét \({I_1} = \int\limits_{}^{} {{{{x^2}} \over {\sqrt {1 – {x^3}} }}dx} \). Đặt \(t = \sqrt {1 – {x^3}} \Leftrightarrow {t^2} = 1 – {x^3} \Leftrightarrow 2tdt = – 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = – {2 \over 3}tdt\)
\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_{}^{} {{{ – {2 \over 3}tdt} \over t}} = {{ – 2} \over 3}t + C = – {2 \over 3}\sqrt {1 – {x^3}} + C\)
Xét \({I_2} = \int\limits_{}^{} {{1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}dx} \), đặt \(t = 1 + \sqrt x \Rightarrow dt = {1 \over {2\sqrt x }}dx \Rightarrow {{dx} \over {\sqrt x }} = 2dt\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow {I_2} = \int\limits_{}^{} {{{2dt} \over {{t^2}}}} = – {2 \over t} + C = – {2 \over {1 + \sqrt x }} + C \cr & \Rightarrow I = – {2 \over 3}\sqrt {1 – {x^3}} – {2 \over {1 + \sqrt x }} + C \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ A = – {2 \over 3} \hfill \cr B = – 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow A + B = – {8 \over 3} \cr} \).
Chọn D.
