Giả sử \(m\) là số thực để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {2{x^2} – 3x + 4m + 5} \right|\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\) là nhỏ nhất và \(m = \frac{a}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên tố cùng nhau và \(b > 0\). Khi đó \(a + b\) bằng:

Giả sử \(m\) là số thực để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {2{x^2} – 3x + 4m + 5} \right|\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\) là nhỏ nhất và \(m = \frac{a}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên tố cùng nhau và \(b > 0\). Khi đó \(a + b\) bằng:

A. \(47\)

B. \(9\)

C. \( – 47\)

D. \( – 9\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

– Lập BBT của hàm số \(y = 2{x^2} – 3x + 4m + 5\) trên \(\left[ { – 1;2} \right]\).

– Chia các TH, xác định GTLN của hàm số \(y = \left| {2{x^2} – 3x + 4m + 5} \right|\), từ đó xác định \(a,\,b\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = 2{x^2} – 3x + 4m + 5\) ta có: \(f’\left( x \right) = 4x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4} \in \left[ { – 1;2} \right]\)

BBT:

TH1: \(\frac{{31}}{8} + 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – \frac{{31}}{{32}}\).

Khi đó hàm số \(y = \left| {2{x^2} – 3x + 4m + 5} \right|\) đạt GTLN bằng \(10 + 4m\).

Với \(m \ge – \frac{{31}}{{32}}\) thì \(10 + 4m \ge \frac{{49}}{8}\).

\( \Rightarrow 10 + 4m\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{49}}{8}\) khi \(m = – \frac{{31}}{{32}}\).

Khi đó \(a = – 31,\,\,b = 32 \Rightarrow a + b = 1\) (Không có đáp án).

TH2: \(\frac{{31}}{8} + 4m < 0 \le 7 + 4m \Leftrightarrow – \frac{7}{4} \le m \le \frac{{ – 31}}{{32}}\).

Khi đó GTLN của hàm số \(y = \left| {2{x^2} – 3x + 4m + 5} \right|\) thuộc \(\left\{ {10 + 4m; – \frac{{31}}{8} – 4m} \right\}\).

+ Nếu \(10 + 4m \ge – \frac{{31}}{8} – 4m \Leftrightarrow m \ge – \frac{{111}}{{64}}\).

\( \Rightarrow \max y = 10 + 4m\) đạt GTNN \( \Leftrightarrow m = – \frac{{111}}{{64}}\).

\( \Rightarrow a = – 111,\,\,b = 64 \Rightarrow a + b = – 47\).

Chọn C.