by Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {{\ln x} \over {\sqrt x }},\) trục hoành, đường thẳng \(x = 1\) và đường thẳng \(x = e\) bằng \(ae + b.\) Khi đó \({a^2}\) gần với giá trị nào nhất ?
A. \(\sqrt 2 .\)
B. \(\sqrt 3\)
C. \(2\sqrt 2\)
D. \(2\sqrt 3\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(S = \int\limits_1^e {\left| {{{\ln x} \over {\sqrt x }}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_1^e {{{\ln x} \over {\sqrt x }}{\rm{d}}x} .\) (Vì với \(x \in \left[ {1;e} \right] \Rightarrow \ln 1 < \ln x < \ln e \Rightarrow \ln x > 0\))
Đặt
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ u = \ln x \hfill \cr dv = {{dx} \over {\sqrt x }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ du = {{dx} \over x} \hfill \cr v = 2\sqrt x \hfill \cr} \right. \Rightarrow \int\limits_1^e {{{\ln x} \over {\sqrt x }}{\rm{d}}x} = \left. {\ln x.2\sqrt x } \right|_1^e – 2\int\limits_1^e {{{dx} \over {\sqrt x }}} = \left. {\left( {\ln x.2\sqrt x – 4\sqrt x } \right)} \right|_1^e = – 2\sqrt e + 4 = – {2 \over {\sqrt e }}e + 4 \cr & \int\limits_1^e {{{\ln x} \over {\sqrt x }}{\rm{d}}x} = ae + b \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = – {2 \over {\sqrt e }} \hfill \cr b = 4 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {a^2} = {4 \over e} \approx 1,4715 \approx \sqrt 2 . \cr} \)
Chọn A.
