by Có một chàng trai hỏi tuổi của một cô gái để “làm quen” . Cô gái là một người ngoài xinh đẹp như hoa hậu, còn là một người rất đam mê môn Toán. Tuy “tình trong như đã, mặt ngoài còn e” cô gái vẫn suy nghĩ một lúc rồi đưa ra một câu đố như sau: “Tuổi của tôi bằng nghiệm của phương trình: \(\sqrt {4x – 8} – 3\sqrt {\frac{{x – 2}}{9}} = 3\) cộng với hai lần kết quả rút gọn của biểu thức sau: \(\left( {\frac{2}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 – 2}}} \right).\sqrt {11 – 4\sqrt 7 } \)”
Các bạn hãy giúp chàng trai trả lời xem cô gái đó bao nhiêu tuổi?
A \(16\)
B \(17\)
C \(20\)
D \(18\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: B
Lời giải chi tiết:
Phương trình: \(\sqrt {4x – 8} – 3\sqrt {\frac{{x – 2}}{9}} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {4\left( {x – 2} \right)} – 3\sqrt {\frac{{x – 2}}{9}} = 3\)(1)
Có điều kiện xác định: \(x – 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\)
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2.\sqrt {x – 2} – 3.\frac{{\sqrt {x – 2} }}{3} = 3\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x – 2} – \sqrt {x – 2} = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {x – 2} = 3\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x – 2} } \right)^2} = {3^2}\\ \Leftrightarrow x – 2 = 9\\ \Leftrightarrow x = 11\left( n \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm phương trình là: \(S = \left\{ {11} \right\}\)
Rút gọn biểu thức:
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{2}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 – 2}}} \right).\sqrt {11 – 4\sqrt 7 } \\ = \left( {\frac{{2.\left( {\sqrt 7 – \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 – \sqrt 5 } \right)}} + \frac{{1.\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 – 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}} \right)\sqrt {{{\sqrt 7 }^2} – 2.2.\sqrt 7 + {2^2}} \\ = \left( {\frac{{2.\left( {\sqrt 7 – \sqrt 5 } \right)}}{2} + \sqrt 5 + 2} \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 – 2} \right)}^2}} \\ = \left( {\sqrt 7 – \sqrt 5 + \sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 7 – 2} \right)\\ = \left( {\sqrt 7 + 2} \right)\left( {\sqrt 7 – 2} \right)\\ = 3\end{array}\)
Vậy: Tuổi của cô gái đó là: \(11 + 2.3 = 17\) (tuổi)
