Tháng Tư 16, 2024

Chứng minh: Giá trị của biểu thức \(A = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)\left( {4 – \sqrt {15} } \right).\sqrt {2 – \sqrt 3 } } \) là một số nguyên.

Chứng minh: Giá trị của biểu thức \(A = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)\left( {4 – \sqrt {15} } \right).\sqrt {2 – \sqrt 3 } } \) là một số nguyên.

Phương pháp giải:

Dựa vào các hằng đẳng thức và công thức \(\sqrt {{A^2}} = \left[ \begin{array}{l}A\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,A \ge 0\\ – A\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,A < 0\end{array} \right.\) để biến đổi và rút gọn \(A.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)\left( {4 – \sqrt {15} } \right)\sqrt {2 – \sqrt 3 } } \\\,\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\sqrt 2 \sqrt {2 – \sqrt 3 } \left( {4 – \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\sqrt {2\left( {2 – \sqrt 3 } \right)} \left( {4 – \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\sqrt {4 – 2\sqrt 3 } \left( {4 – \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}^2}} \left( {4 – \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 – 1} \right)\left( {4 – \sqrt {15} } \right)} \,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 3 – 1 > 0} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {3 – 1} \right)\left( {4 – \sqrt {15} } \right)} = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {2\left( {4 – \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\, = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {8 – 2\sqrt {15} } = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {5 – 2\sqrt 5 \sqrt 3 + 3} \\\,\,\, = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 – \sqrt 3 } \right)\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 5 – \sqrt 3 > 0} \right)\\\,\,\, = 5 – 3 = 2.\end{array}\)

Vậy \(A = 2\) là một số nguyên.