by Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,AC\). Biết \(HM = 15cm,HN = 20cm\). Tính \(HB,HC,AH\).
A \(HB = 12cm\,\,;\,\,\,HC = 28cm\,\,;\,\,\,AH = 20cm\)
B \(HB = 15cm\,\,;\,\,\,HC = 30cm\,\,;\,\,\,AH = 20cm\)
C \(HB = 16cm\,\,;\,\,\,HC = 30cm\,\,;\,\,\,AH = 22cm\)
D \(HB = 18cm\,\,;\,\,\,HC = 32cm\,\,;\,\,\,AH = 24cm\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: D
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý Pi-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông tương ứng để tính độ dài các cạnh.
Lời giải chi tiết:
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có: \(M\) là trung điểm \(AB\)
\( \Rightarrow HM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AB\)
\( \Rightarrow HM = \frac{1}{2}AB \Leftrightarrow AB = 2HM = 2.15 = 30\,\,\left( {cm} \right)\)
Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\) có: \(N\) là trung điểm \(AC\)
\( \Rightarrow HN\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\)
\( \Rightarrow HN = \frac{1}{2}AC \Leftrightarrow AC = 2HN = 2.20 = 40\,\,\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
\( \Leftrightarrow B{C^2} = {30^2} + {40^2} = 2500 \Rightarrow BC = 50\,\,\left( {cm} \right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:
\(A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow {30^2} = 50.BH \Leftrightarrow BH = 18\,\,\left( {cm} \right)\)
Ta có: \(HC = BC – BH = 50 – 18 = 32\,\,\left( {cm} \right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:
\(AH.BC = AB.AC\)\( \Leftrightarrow AH.50 = 30.40 \Leftrightarrow AH = 24\,\,\left( {cm} \right)\)
Chọn D.
