by Cho tam giác ABC đều, H là trực tâm, đường cao AD. M là điểm bất kì trên trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC, gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM. ID cắt EF tại K. Chứng minh rằng M, H, K thẳng hàng.
Phương pháp giải:
+ Vẽ thêm N là trung điểm của AH.
+ Ta chứng minh MH//IN, KH//IN, từ đó suy ra M, H, K thẳng hàng.
Lời giải chi tiết:
Tam giác EAM vuông tại E, EI là đường trung tuyến nên: \(EI = IM = IA = {1 \over 2}AM\)
Từ EI = IA suy ra tam giác IAE cân tại I, từ đó có: \(\widehat {EIM} = 2\widehat {EAI}\) (góc ngoài của tam giác).
Chứng minh tương tự với tam giác vuông ta có: \(\widehat {MID} = 2\widehat {IAD},DI = {1 \over 2}AM\)
Do đó:
\(EI = DI\,\,\left( { = {1 \over 2}AM} \right);\,\,\,\widehat {EID} = \widehat {EIM} + \widehat {MID} = 2\left( {\widehat {EAI} + \widehat {IAD}} \right) = 2\widehat {EAD} = {60^0}\)
Tam giác IED cân (vì EI = DI) có \(\widehat {EID} = {60^0}\) nên là tam giác đều, từ đó EI = ED = ID.
Tương tự tam giác IDF đều suy ra ID = DF = IF.
Do đó EI = ED = DF = IF. Suy ra tứ giác EIFD là hình thoi.
Suy ra K là trung điểm chung của EF và ID.
Gọi N là trung điểm của AH.
Tam giác ABC đều có H là trực tâm của tam giác ABC nên H cũng là trọng tâm tam giác.
Do đó AN = NH = HD.
Ta có : MH // IN ( vì IN là đường trung bình của tam giác AMH) và KH // IN(vì KH là đường trung bình của tam giác DIN).
Từ H ta chỉ vẽ được một đường thẳng song song với IN (tiên đề Ơ – Clit) nên M, H, K thẳng hàng.
