Cho số phức \(z={{\left( \frac{1+i}{1-i} \right)}^{2017}}\). Khi đó \(z.{{z}^{7}}.{{z}^{15}}\) bằng:

Cho số phức \(z={{\left( \frac{1+i}{1-i} \right)}^{2017}}\). Khi đó \(z.{{z}^{7}}.{{z}^{15}}\) bằng:

A. -1

B. 1

C. i

D. -i

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

– Tính số phức \(z\Rightarrow z.{{z}^{7}}.{{z}^{15}}\)(lưu ý: \({{i}^{4k}}=1;{{i}^{4k+1}}=i;{{i}^{4k+2}}=-1;{{i}^{4k+3}}=-i\)).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1i)(1+i)}=\frac{1+2i+{{i}^{2}}}{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\frac{2i}{2}=i\)

\(\Rightarrow z={{i}^{2017}}=i.{{i}^{2016}}=i.{{\left( {{i}^{4}} \right)}^{504}}=i{{.1}^{504}}=i\)

\(\Rightarrow z.{{z}^{7}}.{{z}^{15}}=i.{{i}^{7}}.{{i}^{15}}={{i}^{23}}=i.{{i}^{22}}=i.{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{11}}=i.{{\left( -1 \right)}^{11}}=-i\)

Chọn D