by Cho phương trình \(\frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {\left( {{m^2} – 1} \right)x + 1} \right)}}{{x – 1}} = 0\). Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình có đúng một nghiệm ?
A. \(4\).
B. \(5\).
C. \(2\).
D. \(3\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Tìm ĐKXĐ.
– \(\frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {\left( {{m^2} – 1} \right)x + 1} \right)}}{{x – 1}} = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {\left( {{m^2} – 1} \right)x + 1} \right) = 0\).
– Để phương trình \(\frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {\left( {{m^2} – 1} \right)x + 1} \right)}}{{x – 1}} = 0\)có đúng một nghiệm thì phương trình \(\left( {{m^2} – 1} \right)x + 1 = 0\) hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm \(x = 2\) hoặc \(x = 1\).
– Biện luận phương trình bậc nhất một ẩn \(ax + b = 0\).
+ Phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow a = 0,\,\,b \ne 0\).
+ Phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow a \ne 0\), khi đó \(x = – \frac{b}{a}\).
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(x \ne 1\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {\left( {{m^2} – 1} \right)x + 1} \right)}}{{x – 1}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {\left( {{m^2} – 1} \right)x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 2 = 0\\\left( {{m^2} – 1} \right)x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\\left( {{m^2} – 1} \right)x = – 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Để phương trình (1) có đúng một nghiệm, ta có các trường hợp sau :
TH1 : Phương trình (2) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 1 = 0\\ – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \pm 1\)
TH2 : Phương trình (2) có nghiệm \(x = 2\) hoặc \(x = 1\). \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 1 \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}\frac{{ – 1}}{{{m^2} – 1}} = 1\\\frac{{ – 1}}{{{m^2} – 1}} = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \pm 1\\\left[ \begin{array}{l}{m^2} – 1 = – 1\\{m^2} – 1 = – \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \pm 1\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)
Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn.
Chọn B.
