Tháng Hai 24, 2024

. Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2}-3C_{n}^{n-1}=11n.$ Xét khai triển $P\left( x \right)={{\left( x+2 \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Hệ số lớn nhất của$P\left( x \right)$ là

.

Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2}-3C_{n}^{n-1}=11n.$

Xét khai triển $P\left( x \right)={{\left( x+2 \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Hệ số lớn nhất của$P\left( x \right)$ là

C. $C_{15}^{5}{{.2}^{11}}$.

B. $C_{15}^{5}{{.2}^{10}}$.

C. $252$.

D. $129024$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

$\begin{align}

& A_{n}^{2}-3.C_{n}^{n-1}=11n\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-2 \right)!}-3n=11n. \\

& \Leftrightarrow n\left( n-1 \right)-3n=11n\Leftrightarrow n=15. \\

& {{\left( x+2 \right)}^{15}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}}{{x}^{k}}{{.2}^{15-k}} \\

\end{align}$

Xét bất phương trình:${{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\Leftrightarrow C_{15}^{k}{{.2}^{15-k}}\le C_{15}^{k+1}{{.2}^{14-k}}\Leftrightarrow $

$2\frac{15!}{k!.\left( 15-k \right)!}\le 2\frac{15!}{\left( k+1 \right)!.\left( 14-k \right)!}\Leftrightarrow $$\frac{2}{15-k}\le \frac{1}{k+1}\Leftrightarrow k\le \frac{13}{3},k\in N\Rightarrow k\in \left\{ 0,1,2,3,4 \right\}$

Từ đây ta có:

$\left\{ \begin{align}

& {{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 0,1,2,3,4 \right\} \\

& {{a}_{k}}={{a}_{k+1}}\Leftrightarrow k=\frac{13}{3},k\notin N \\

& {{a}_{k}}>{{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 5;6;….15 \right\} \\

\end{align} \right.$

Do đó: ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}<{{a}_{4}}<{{a}_{5}}>{{a}_{6}}>{{a}_{7}}>…>{{a}_{15}}$

Vậy ${{a}_{5}}=max\left\{ {{a}_{i}}\left| i=\overline{0,15} \right. \right\}=C_{15}^{5}{{.2}^{10}}$