by Cho \(I = \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {x + 1} }}dx.} \) Nếu đặt \(t = \sqrt {x + 1} \) thì \(I = \int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} ,\) trong đó \(f\left( t \right)\) bằng:
A. \(f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t\)
B. \(f\left( t \right) = {t^2} – t\)
C. \(f\left( t \right) = 2{t^2} – 2t\)
D. \(f\left( t \right) = {t^2} + t\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân.
Khi đổi từ biến \(x\) sang biến \(t\) ta cần đổi cận.
Từ đó ta tìm được hàm số \(f\left( t \right).\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(I = \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {x + 1} }}dx} \)
Đặt \(t = \sqrt {x + 1} \) \( \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow dx = 2tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 3 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {\frac{{{t^2} – 1}}{{1 + t}}2tdt} \) \( = 2\int\limits_0^2 {\frac{{\left( {t – 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}{{t + 1}}tdt} \)\( = 2\int\limits_0^2 {t\left( {t – 1} \right)dt = 2\int\limits_0^2 {\left( {{t^2} – t} \right)dt} } \)
\( \Rightarrow f\left( t \right) = 2\left( {{t^2} – t} \right) = 2{t^2} – 2t.\)
Chọn C.
