Cho hình phẳng giới hạn bởi \(D=\left\{ y=\tan x;\,\,y=0;\,\,x=0;\,\,x=\frac{\pi }{3} \right\}.\) Thể tích vật tròn xoay khi \(D\) quay quanh trục \(Ox\) là \(V=\pi \left( a-\frac{\pi }{b} \right),\) với \(a,\,\,b\in R.\) Tính \(T={{a}^{2}}+2b.\)

Cho hình phẳng giới hạn bởi \(D=\left\{ y=\tan x;\,\,y=0;\,\,x=0;\,\,x=\frac{\pi }{3} \right\}.\) Thể tích vật tròn xoay khi \(D\) quay quanh trục \(Ox\) là \(V=\pi \left( a-\frac{\pi }{b} \right),\) với \(a,\,\,b\in R.\) Tính \(T={{a}^{2}}+2b.\)

A. \(T=6.\)

B. \(T=9.\)

C. \(T=12.\)

D. \(T=3.\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích vật tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{{{\tan }^{2}}x\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)\,\text{d}x}.\)

\(=\pi \left. \left( \tan x-x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}=\pi \left( \sqrt{3}-\frac{\pi }{3} \right)=\pi \left( a-\frac{\pi }{3} \right)\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left\{ \begin{align} & a=\sqrt{3} \\ & b=3 \\\end{align} \right..\)

Vậy \(T={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+2.3=9.\)

Chọn B.