by Cho hình bình hành $ ABCD$ có $ AB=a,\text{ }BC=b,\text{ }BD=m$ và $ AC=n$ . Trong các biểu thức sau, biểu thức nào đúng:
A. $ {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right). $
B. $ {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right). $
C. $2\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}. $
D. $3\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}. $
Hướng dẫn
Gọi $ O$ là giao điểm của $ AC$ và $ BD. $
Ta có: $ BO=\frac{1}{2}BD=\frac{m}{2}. $
$ BO$ là trung tuyến của tam giác $ \Delta ABC$
$ \Rightarrow B{{O}^{2}}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}$
$ \Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{{{n}^{2}}}{4}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$ Chọn đáp án B.
