by Cho hàm số $f(x) = {x^3} + {x^2} – 2x + 3.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số $y=f(x-2017)$ không có cực trị
B. Hai phương trình $f(x)=2017$ và $f(x-1)=2017$ có cùng số nghiệm
C. Hai phương trình $f(x)=m$ và $f(x-1)=m-1$ có cùng số nghiệm với mọi m
D. Hai phương trình $f(x)=m$ và $f(x-1)=m+1$ có cùng số nghiệm với mọi m
Hướng dẫn
B đúng vì hàm số y = f(x-1) là ảnh của hàm số qua phép tịnh tiến sang phải 1 đơn vị nên số giao điểm của đồ thị hai hàm số với đường nằm ngang y = 2017 là như nhau.
A sai vì tương tự như trên hàm số y = f(x – 2017) là ảnh của hàm số y = f(x) qua phép tịnh tiến sang phải 2017 đơn vị nên số điểm cực trị của hàm số y = f(x – 2017) cũng bằng với số điểm cực trị hàm số y = f(x)
Xét hàm số $y = f(x) = {x^3} + {x^2} – 2x + 3$
$f'(x) = 3{x^2} + 2x – 2$ có $\Delta >0$ nên luôn có hai điểm cực trị.
C và D sai. Tương tự trên hàm số y = f(x-1) là ảnh của phép tịnh tiến hàm y = f(x) sang phải một đơn vị nên giao điểm với đường thẳng y = k với k bất kì là như nhau. Mà số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m và y = m – 1 có thể khác nhau.
