by Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\,\,f\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = – \frac{1}{2},\) \(f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right).\) Biết \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + …… + f\left( {2019} \right) = \frac{a}{b} – 1\) với \(a \in \mathbb{Z},\,\,b \in \mathbb{N},\,\,\left( {a;\,b} \right) = 1.\)
Khẳng định nào say đây là sai?
A. \(a – b = 2019\)
B. \(ab > 2019\)
C. \(2a + b = 2022\)
D. \(b \le 2020\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Lấy nguyên hàm hai vế từ đẳng thức đạo hàm và kết hợp điều kiện tìm \(f\left( x \right)\).
– Tính các giá trị \(f\left( 1 \right),f\left( 2 \right),…,f\left( {2019} \right)\) thay vào tính tổng.
– Tìm \(a,b\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{{f’\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 1\)
Nguyên hàm hai vế ta được:
\(\int {\frac{{f’\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \) \( \Rightarrow – \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + x + C\).
Do \(f\left( 1 \right) = – \frac{1}{2}\) nên \( – \frac{1}{{ – \frac{1}{2}}} = {1^2} + 1 + C \Leftrightarrow C = 0\).
Do đó \( – \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + x \Rightarrow f\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x + 1}} – \frac{1}{x}\).
\( \Rightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + … + f\left( {2019} \right) = \frac{1}{2} – \frac{1}{1} + \frac{1}{3} – \frac{1}{2} + … + \frac{1}{{2020}} – \frac{1}{{2019}} = \frac{1}{{2010}} – 1\).
Vậy \(a = 1,b = 2020\).
Đối chiếu các đáp án ta thấy A sai.
Chọn A.
