by Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + m} \right|\). Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { – 1;3} \right]\). Tổng các giá trị của tham số thực \(m\) để \(M = \frac{{71}}{2}.\)
A. \(4\)
B. \(- 3\)
C. \(9\)
D. \(5\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Đặt \(h\left( x \right) = 3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + m\), khảo sát và lập BBT của hàm số \(h\left( x \right)\) trên \(\left[ { – 1;3} \right]\).
– Chia các trường hợp, từ đó suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {h\left( x \right)} \right|\) và tìm GTLN của hàm số trên \(\left[ { – 1;3} \right]\).
– Tìm các giá trị của \(m\) thỏa mãn từng trường hợp.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(h\left( x \right) = 3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + m\) ta có:
\(h’\left( x \right) = 12{x^3} – 12{x^2} – 24x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 1\\x = 2\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Ta thấy \(m – 32 < m – 5 < m < m + 27\).
TH1: \(m – 32 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 32\).
\( \Rightarrow M = m + 27 = \frac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = \frac{{17}}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\).
TH2: \(m – 32 < 0 \le m – 5 \Leftrightarrow 5 \le m < 32\).
\( \Rightarrow M \in \left\{ {32 – m;m + 27} \right\}\).
Nếu \(m + 27 \ge 32 – m \Leftrightarrow 2m \ge 5 \Leftrightarrow m \ge \frac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow 5 \le m < 32\), khi đó \(M = m + 27 = \frac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = \frac{{17}}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\).
Nếu \(m + 27 < 32 – m \Leftrightarrow m < \frac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow m \in \emptyset \).
TH3: \(m – 5 < 0 \le m \Leftrightarrow 0 \le m < 5\).
\( \Rightarrow M \in \left\{ {32 – m;m + 27} \right\}\).
Nếu \(m + 27 \ge 32 – m \Leftrightarrow 2m \ge 5 \Leftrightarrow m \ge \frac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow \frac{5}{2} \le m < 5\), khi đó \(M = m + 27 = \frac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = \frac{{17}}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\).
Nếu \(m + 27 < 32 – m \Leftrightarrow m < \frac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow 0 \le m < \frac{5}{2}\), khi đó \(M = 32 – m = \frac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = – \frac{7}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\).
TH4: \(m + 27 \le 0 \Leftrightarrow m \le – 27\), khi đó \(M = 32 – m = \frac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = – \frac{7}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m \in \left\{ {\frac{{17}}{2}; – \frac{7}{2}} \right\}\), tổng các giá trị của \(m\) là \(\frac{{17}}{2} + \left( { – \frac{7}{2}} \right) = \frac{{10}}{2} = 5\).
Chọn D.
