Cho hai dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ với ${{x}_{n}}=\frac{\left( n+1 \right)!}{{{2}^{n}}}$ và $\left( {{y}_{n}} \right)$ với ${{y}_{n}}=n+{{\sin }^{2}}\left( n+1 \right)$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

Cho hai dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ với ${{x}_{n}}=\frac{\left( n+1 \right)!}{{{2}^{n}}}$ và $\left( {{y}_{n}} \right)$ với ${{y}_{n}}=n+{{\sin }^{2}}\left( n+1 \right)$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

C. $\left( {{x}_{n}} \right)$ là dãy số giảm, $\left( {{y}_{n}} \right)$ là dãy số giảm.

B. $\left( {{x}_{n}} \right)$ là dãy số giảm, $\left( {{y}_{n}} \right)$ là dãy số tăng.

C. $\left( {{x}_{n}} \right)$ là dãy số tăng, $\left( {{y}_{n}} \right)$ là dãy số giảm.

D. $\left( {{x}_{n}} \right)$ là dãy số tăng, là dãy số tăng.

Hướng dẫn

Đáp án D.

Ta có ${{x}_{n}}>0,\forall n\ge 1$ và $\frac{{{x}_{n+1}}}{{{x}_{n}}}=\frac{n+2}{2}>1,\forall n\ge 1$nên $({{x}_{n}})$là dãy số tăng.

Ta có ${{y}_{n+1}}-{{y}_{n}}={{\sin }^{2}}(n+1)+1-{{\sin }^{2}}n>0,\forall n\ge 1$ nên $({{y}_{n}})$cũng là dãy số tăng.