Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 1;3} \right]\). Biết \(F\left( { – 1} \right) = 2,\)\(F\left( 3 \right) = \frac{{11}}{2}\), tính tích phân \(I = \int\limits_{ – 1}^3 {\left[ {2f\left( x \right) – x} \right]dx.} \)

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 1;3} \right]\). Biết \(F\left( { – 1} \right) = 2,\)\(F\left( 3 \right) = \frac{{11}}{2}\), tính tích phân \(I = \int\limits_{ – 1}^3 {\left[ {2f\left( x \right) – x} \right]dx.} \)

A. \(I = \frac{7}{2}.\)

B. \(I = 3.\)

C. \(I = 11.\)

D. \(I = 19.\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

– Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).

– Với \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) – F\left( a \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{ – 1}^3 {\left[ {2f\left( x \right) – x} \right]dx} = 2\int\limits_{ – 1}^3 {f\left( x \right)dx} – \int\limits_{ – 1}^3 {xdx} \\\,\,\,\, = 2\left( {F\left( 3 \right) – F\left( { – 1} \right)} \right) – \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ – 1}^3\\\,\,\,\, = 2\left( {\frac{{11}}{2} – 2} \right) – \left( {\frac{9}{2} – \frac{1}{2}} \right) = 3.\end{array}\)

Chọn B.