by : Cho đa giác đều ${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{2n}}$ nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{2n}}$ gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{2n}}$. Tìm n?
C. 3
B. 6
C. 8
D. 12
Hướng dẫn
Chọn C
Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{2n}}$ là: $C_{2n}^{3}$.
Ta thấy ứng với hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{2n}}$ cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 điểm trong 2n điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{2n}}$ và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho tương ứng hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác. Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n nên số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm bằng $C_{n}^{2}$.
Theo giả thiết: $C_{2n}^{3}=20C_{n}^{2}\Leftrightarrow \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{3!}=20\frac{n(n-1)}{2}$$\Leftrightarrow n=8$.
