by Cho các số phức z và w thỏa mãn \(\left( {3 – i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w – 1}} + 1 – i\). Tìm GTLN của \(T = \left| {w + i} \right|\).
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
B. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
C. \(2\).
D. \(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Sử dụng BĐT \(\left| {{z_1} + {z_3}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
Lời giải chi tiết:
Dễ dàng kiểm tra \(z = 0\) không thỏa mãn \(\left( {3 – i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w – 1}} + 1 – i\)
Ta có: \(\left( {3 – i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w – 1}} + 1 – i \Leftrightarrow \frac{z}{{w – 1}} = \left( {3 – i} \right)\left| z \right| + i – 1 \Leftrightarrow \frac{z}{{w – 1}} = \left( {3\left| z \right| – 1} \right) + \left( {1 – \left| z \right|} \right)i\)\( \Rightarrow \left| {\frac{z}{{w – 1}}} \right| = \sqrt {10{{\left| z \right|}^2} – 8\left| z \right| + 2} \)\( \Rightarrow \left| {w – 1} \right| = \sqrt {\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{{10{{\left| z \right|}^2} – 8\left| z \right| + 2}}} \)
Nhận xét: \(T = \left| {w + i} \right| \le \left| {w – 1} \right| + \left| {1 + i} \right| = \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{{{{\left| z \right|}^2}}} – \frac{8}{{\left| z \right|}} + 10} }} + \sqrt 2 = \frac{1}{{\sqrt {2{{\left( {\frac{1}{{\left| z \right|}} – 2} \right)}^2} + 2} }} + \sqrt 2 \le \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khỉ \(\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = \frac{1}{2}\\w – 1 = k\left( {1 + i} \right)\\\left( {3 – i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w – 1}} + 1 – i\end{array} \right.,\left( {k > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \frac{1}{2}i\\w = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i\end{array} \right.\)
Vậy, \(\max T = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn: B
