by Cho biểu thức: \(P = \frac{{2\sqrt x – 9}}{{x – 5\sqrt x + 6}} – \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} – \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 – \sqrt x }}.\)
a) Rút gọn biểu thức \(P.\) b) Tìm \(x\) để \(P < 1.\)
c) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) nguyên.
A a) \( P= {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 3}}.\)
b) \( 0 \le x < 9 \)
c) \(x \in \left\{ {1;\,\,16;\,\,25;\,\,49} \right\} \)
B a) \( P= {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 3}}.\)
b) \( 0 < x < 9;\,\,\,x \ne 4 \)
c) \(x \in \left\{ {1;\,\,16;\,\,25;\,\,49} \right\} \)
C a) \( P= {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 3}}.\)
b) \( 0 \le x < 9;\,\,\,x \ne 4 \)
c) \(x \in \left\{ {1;\,\,16;\,\,25;\,\,49} \right\} \)
D a) \( P= {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 3}}.\)
b) \( 0 \le x < 9;\,\,\,x \ne 4 \)
c) \(x \in \left\{ {1;\,\,16;\,\,25} \right\} \)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.
b) Giải bất phương trình \(P < 1,\) tìm \(x\) sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
c) Biến đổi biểu thức \(P\) về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)
Từ đó, biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = …\)
Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x – 5\sqrt x + 6 \ne 0\\\sqrt x – 2 \ne 0\\3 – \sqrt x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right) \ne 0\\\sqrt x \ne 2\\\sqrt x \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\x \ne 9\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}P = \frac{{2\sqrt x – 9}}{{x – 5\sqrt x + 6}} – \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} – \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 – \sqrt x }}\\ = \frac{{2\sqrt x – 9}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} – \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}}\\ = \frac{{2\sqrt x – 9 – \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt x – 9 – x + 9 + 2x – 4\sqrt x + \sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\ = \frac{{x – \sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}}.\end{array}\)
b) Tìm \(x\) để \(P < 1.\)
ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\)
\(\begin{array}{l}P < 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}} < 1\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}} – 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1 – \sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 3}} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x – 3}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x – 3 < 0\,\,\,\\ \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Leftrightarrow x < 9\end{array}\)
Kết hợp với ĐKXĐ ta được \(0 \le x < 9;\,\,\,x \ne 4\) thì \(P < 1.\)
c) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) nguyên.
ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\)
Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}} = \frac{{\sqrt x – 3 + 4}}{{\sqrt x – 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x – 3}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \in Z \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{4}{{\sqrt x – 3}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x – 3}} \in Z\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x – 3} \right) \in U\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x – 3} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x – 3 = – 4\\\sqrt x – 3 = – 2\\\sqrt x – 3 = – 1\\\sqrt x – 3 = 1\\\sqrt x – 3 = 2\\\sqrt x – 3 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = – 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x = 1\\\sqrt x = 2\\\sqrt x = 4\\\sqrt x = 5\\\sqrt x = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\,(ktm)\\x = 16\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 25\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 49\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(x \in \left\{ {1;\,\,16;\,\,25;\,\,49} \right\}\) thì \(P\) nguyên.
