Tháng Năm 19, 2022
đồ thị hàm số

Cách bấm casio tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số

1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và một điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị (C) . Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M là đường thẳng d có phương trình: $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$

2) VÍ DỤ MINH HỌA

Bài 1-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 ]
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = – \frac{1}{x} – \ln x$ tại điểm có hoành độ bằng 2
A. $\frac{1}{2} – \ln 2$
B. $ – \frac{1}{4}$
C. $ – \frac{3}{4}$
D. $\frac{1}{4}$

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$
Sử dụng máy tính Casio để tính hệ số góc tiếp tuyên tại điểm có hoành độ bằng 2 $ \Rightarrow k = f’\left( 2 \right)$

Ta thấy$k = f’\left( 2 \right) = – 0.25 = – \frac{1}{4}$ .
=>B là đáp án chính xác

Bài 2-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 ]
Cho hàm số $y = – {x^3} + 3x – 2$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
A. $y = – 2x + 1$
B. $y = 3x – 2$
C. $y = 2x + 1$
D. $y = – 3x – 2$

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$ M là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung $ \Rightarrow $ M có tọa độ $\left( {0; – 2} \right)$
Tính $f’\left( 0 \right) = 0$

Thế vào phương trình tiếp tuyến có $y = 3\left( {x – 0} \right) – 2 \Leftrightarrow y = 3x – 2$
$ \Rightarrow $ B là đáp án chính xác

Bài 3-[Thi thử chuyên Nguyễn Thị Minh Khai lần 1 ]
Số tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ : $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ đi qua điểm M(1;0) là :
A. 4
B.2
C. 3
D. 1

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 – 6{x_0}$
Thế $f’\left( {{x_0}} \right)$ vào phương trình tiếp tuyến được $y = \left( {3x_0^2 – 6{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + x_0^3 – 3x_0^2 + 2$
Tiếp tuyến đi qua điểmM(1;0) $ \Rightarrow 0 = \left( {3x_0^2 – 6{x_0}} \right)\left( {1 – {x_0}} \right) + x_0^3 – 3x_0^2 + 2$
$ \Leftrightarrow – 2x_0^3 + 6x_0^2 – 6{x_0} + 2 = 0$
Sử dụng máy tính với lệnh MODE 5 để giải phương trình bậc 3 trên

 Ta thấy có 1 nghiệm ${x_0}$ $ \Rightarrow $ Chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất.
=>D là đáp án chính xác

Bài 4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ]
Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ có đồ thị (C). Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của với hệ số góc nhỏ nhất
A. $y = – 3x + 3$
B. $y = – 3x – 3$
C. y= -3x
D. y=0

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 – 6{x_0}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của k bằng chức năng MODE 7

Ta thấy $f’\left( {\min } \right) = f’\left( 1 \right) = – 3 \Rightarrow {x_0} = – 3$ $ \Rightarrow {y_0} = {1^3} – {3.1^2} + 2 = 0$
Thế vào phương trình tiếp tuyến có $y = – 3\left( {x – 1} \right) + 0 \Leftrightarrow y = – 3x + 3$
$ \Rightarrow $ D là đáp án chính xác

Bài 5-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ]
Cho hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}$ (C) Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của (C) đến một tiếp tuyến bất kì của (C) . Giá trị lớn nhất d có thể đạt được là :
A. $3\sqrt 3 $
B. $\sqrt 3 $
C. $\sqrt 2 $
D. $2\sqrt 2 $

GIẢI

 Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’\left( {{x_0}} \right) = – \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}$ .
Thế $k,{y_0}$ vào phương trình tiếp tuyến có dạng : $y = – \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}}$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}x + y – \frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} – \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}} = 0$
Hàm số có tiệm cận đứng x= -1 và tiệm cận ngang y = 1 nên giao điểm hai tiệm cận là I (-1;1).
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có:
$h = d\left( {I;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( { – 1} \right) + 1 – \frac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} – \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}} \right)}^2} + {1^2}} }}$
Dùng máy tính Casio với lệnh MODE 7 để tính các giá trị lớn nhất này.

Ta thấy $h\left( {\max } \right) = \sqrt 2 $
$ \Rightarrow $ C là đáp án chính xác

Bài 6-[Thi HK1 THPT Việt Đức – Hà Nội ]
Hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}$ (H), M là điểm bất kì và $M \in \left( H \right)$ . Tiếp tuyến với (H) tại M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích bằng :
A. 4
B.5
C. 3
D. 2

GIẢI

Gọi tiếp điểm là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$ Trong đó hệ số góc $k = f’\left( {{x_0}} \right) = – \frac{1}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}$ .
Thế $k,{y_0}$ vào phương trình tiếp tuyến có dạng: $y = – \frac{1}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} – 1}}{{{x_0} – 1}}$ (d)
Hàm số có tiệm cận đứng x=1 và tiệm cận ngang y=2 và giao điểm 2 tiệm cận là I (1;2)
Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận đứng $ \Rightarrow E\left( {1;\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} – 1}}} \right)$
Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận ngang $ \Rightarrow F\left( {2{x_0} – 1;2} \right)$
Độ dài $IE = \left| {\overrightarrow {IE} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 – 1} \right)}^2} + \left( {\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} – 1}} – 2} \right)} = \frac{2}{{\left| {{x_0} – 1} \right|}}$
Độ dài $IF = \sqrt {{{\left( {2{x_0} – 1 – 1} \right)}^2} + {{\left( {2 – 2} \right)}^2}} = 2\left| {{x_0} – 1} \right|$ Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có :
Diện tích $\Delta IEF$ $ = \frac{1}{2}IE.IF = \frac{1}{2}.\frac{2}{{\left| {{x_0} – 1} \right|}}.2\left| {{x_0} – 1} \right| = 2$ $ \Rightarrow $ D là đáp án chính xác

BÀI TẬP T Ự LUYỆN
Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 ]
Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{2x – 1}}$ . Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng có hệ số góc bằng :
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $ – \frac{1}{3}$
D. $ – \frac{1}{6}$

Bài 2-[Thi thử chuyên Quốc Học Huế lần 1 ]
Tìm tọa độ của tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}$ sao cho tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng $d:y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$
A. $\left( {0;1} \right),\left( {2;3} \right)$
B. $\left( {1;0} \right),\left( { – 3;2} \right)$
C. $\left( { – 3;2} \right)$
D. (1;0)

Bài 3-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 ]
Cho hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x + 2}}$ có đồ thị (C) . Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành có phương trình là :
A. y=3x
B. y= 3x-3
C. y= x-3
D. $y = \frac{1}{3}x – \frac{1}{3}$

Bài 4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 ]
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 9x – 16$
A. y = 9x – 16
B. y = 9x + 12
C. y = 9x – 10
D. y = 9x – 12

Bài 5-[Thi thử Group nhóm toán Facebook lần 5 ]
Tìm tọa độ điểm M có hoành độ âm trên đồ thị $\left( C \right):y = \frac{1}{3}{x^2} – x + \frac{2}{3}$ sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng $y = – \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$
A. $M\left( { – 2;0} \right)$
B. $M\left( { – 3; – \frac{{16}}{3}} \right)$
C. $\left( { – 1;\frac{4}{3}} \right)$
D. $M\left( {\frac{1}{2};\frac{9}{8}} \right)$

Bài 6-[Thi tốt nghiệm THPT năm 2012]
Cho hàm số $y = \frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2}\left( C \right)$ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ biết $f”\left( {{x_0}} \right) = – 1$
A. $\left[ \begin{array}{l} y = – 3x – \frac{5}{4}\\ y = 3x + \frac{5}{4} \end{array} \right.$
B. $\left[ \begin{array}{l} y = 3x – \frac{5}{4}\\ y = – 3x + \frac{5}{4} \end{array} \right.$
C. $\left[ \begin{array}{l} y = – 3x – \frac{5}{4}\\ y = 3x – \frac{5}{4} \end{array} \right.$
D. $\left[ \begin{array}{l} y = – 3x + \frac{5}{4}\\ y = 3x + \frac{5}{4} \end{array} \right.$